關於此實驗
疊加有限厚度的層，並檢視每一層的貢獻。逐步細分，找出各層體積總和何時會精確，以及曲面邊界如何產生系統性的近似誤差。
學習目標
- 以截面積乘以厚度來計算體積。
- 比較中點近似與精確體積。
- 說明圓錐與球體的誤差符號為何不同。
使用方法
- 1從圓錐開始，選取一層並檢視其中點處的截面積。
- 2將層數加倍，並比較帶符號的體積誤差。
- 3切換到球體，觀察中點誤差的符號正好相反。
- 4使用長方體或圓柱體，驗證即使只有一層，體積也能精確計算。
模型
假設
- 各層的半徑或寬度固定為其中點處的值。這些層形成的是階梯狀近似，而非對曲面立體的精確分割。
- 圖中層與層之間的間隙僅用於視覺區分，不會影響層的厚度或計算出的體積。
- 截面積恆定的長方體和圓柱體，無論分成多少層（正整數），體積都能精確計算。
在課堂上試試這個實驗
- Q1為什麼一個圓柱形層會高估球體的體積？
- Q2為什麼將圓錐層數加倍，會使這個中點誤差縮小到四分之一？
常見問題
顯示的這些層是精確的曲面切片嗎？
不是。每一層都是面積恆定的角柱或圓柱，其面積等於精確的中間截面面積。它與原立體之間的差異正是這項實驗的目的。
選取的層會改變總和嗎？
不會。選取某一層只會突顯它的貢獻，總和保持不變。