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Volumen von Prismen und Zylindern

MittelschuleMathematikMittelpunktsummen der Schichten im Vergleich mit den analytischen Volumina von Quader, Zylinder, Kegel und Kugel

Klicken Sie auf eine Schicht, um ihren Flächen- und Volumenbeitrag zu untersuchen. Verfeinern Sie den Stapel und vergleichen Sie die Näherung mit dem exakten Körper.

3D

Ziehe den Apparat, um ihn anzupassen. Ziehe den Hintergrund, um ihn zu drehen. Scrolle zum Zoomen.

Messprotokoll

Ändere die Einstellungen, teste eine Vorhersage und speichere das Ergebnis. Es werden bis zu 12 Momentaufnahmen gespeichert.

Über dieses Experiment

Stapeln Sie Schichten mit endlicher Dicke und untersuchen Sie den Beitrag jeder einzelnen Schicht. Verfeinern Sie die Schichtung, um herauszufinden, wann die Summe der Schichten exakt ist und wie gekrümmte Begrenzungen systematische Näherungsfehler verursachen.

Lernziele

  • Berechnen Sie das Volumen als Querschnittsfläche mal Dicke.
  • Vergleichen Sie eine Näherung mit dem Mittelpunkt mit dem exakten Volumen.
  • Erklären Sie die unterschiedlichen Vorzeichen der Fehler bei Kegeln und Kugeln.

Anleitung

  1. 1Beginnen Sie mit einem Kegel und wählen Sie eine Schicht aus, um ihre Fläche am Mittelpunkt zu untersuchen.
  2. 2Verdoppeln Sie die Anzahl der Schichten und vergleichen Sie den vorzeichenbehafteten Volumenfehler.
  3. 3Wechseln Sie zu einer Kugel und beobachten Sie, dass der Mittelpunktsfehler das entgegengesetzte Vorzeichen hat.
  4. 4Verwenden Sie einen Quader oder Zylinder und überprüfen Sie, dass das Volumen selbst bei nur einer Schicht exakt ist.

Das Modell

Jede Schicht erfasst die Fläche an ihrem Mittelpunkt.
Das quadratische Flächenprofil des Kegels führt zu einer bekannten Unterschätzung.
Das konkave quadratische Flächenprofil der Kugel führt zu einer bekannten Überschätzung.

Annahmen

  • Die Radien oder Breiten der Schichten sind auf ihre Werte am jeweiligen Mittelpunkt festgelegt. Sie ergeben eine treppenförmige Näherung statt exakter Teile des gekrümmten Körpers.
  • Sichtbare Lücken zwischen den Schichten dienen nur der Darstellung. Sie tragen weder zur Schichtdicke noch zum berechneten Volumen bei.
  • Quader und Zylinder mit konstanter Querschnittsfläche ergeben bei jeder positiven ganzzahligen Anzahl von Schichten ein exaktes Volumen.

Im Unterricht ausprobieren

  1. Q1Warum kann eine einzige zylindrische Schicht das Volumen einer Kugel überschätzen?
  2. Q2Warum verringert sich dieser Mittelpunktsfehler um den Faktor vier, wenn man die Anzahl der Kegelschichten verdoppelt?

Häufig gestellte Fragen

Sind die dargestellten Schichten exakte gekrümmte Scheiben?

Nein. Jede Schicht ist ein Prisma oder Zylinder mit konstanter Querschnittsfläche, die der exakten Fläche im mittleren Querschnitt entspricht. Der Unterschied zum ursprünglichen Körper ist der Zweck des Experiments.

Ändert die ausgewählte Schicht die Gesamtsumme?

Nein. Die Auswahl hebt einen einzelnen Beitrag hervor, während die Gesamtsumme unverändert bleibt.