互動式流行病與SIR模型模擬

關於此實驗

SIR 模型將人口分為三個群體：仍可能感染疾病的人（易感者）、已經感染且可能傳染給他人的人（感染者），以及已經康復並具有免疫力的人（康復者）。只需三個簡單的比率，就足以重現疫情的上升與消退。調整基本再生數 R₀、在疫情爆發前為鎮上部分居民接種疫苗，或加入一段時間的社交距離措施，然後將曲線與完全沒有採取任何措施時的情況進行比較。

學習目標

描述 SIR 模型的三個區室及其間的流動
解釋基本再生數 R₀ 與有效再生數的意義
解釋為什麼疫情會在所有人都感染之前達到高峰並開始下降
計算群體免疫閾值，並透過疫苗接種進行驗證
解釋「拉平曲線」是什麼意思，以及為什麼採取措施的時機很重要

使用方法

1使用預設設定並按下播放。感染人數在哪一天達到高峰？那一天的有效 R 值是多少？
2重設後將 R₀ 設為 1.2，再設為 4。高峰高度和最終感染人數會如何變化？
3將 R₀ 設為 2.5，並查看群體免疫門檻。將疫苗接種率設得略低於該門檻，然後略高於該門檻。疫情會有什麼變化？
4取消疫苗接種，並從第 20 天起開啟社交距離措施，持續 60 天。比較實線曲線和虛線曲線。
5將「減少接觸」設為 70 %，從第 0 天開始並持續 60 天。距離措施結束後會發生什麼？為什麼？
6找出一組措施，使高峰維持在醫療照護量能線以下。

模型

\frac{d S}{d t} = - β S I, \frac{d I}{d t} = β S I - γ I, \frac{d R}{d t} = γ I

S、I 和 R 代表人口中的比例；β 是接觸率，1/γ 是傳染期

R_{0} = \frac{β}{γ}, R_{eff} = R_{0} S

在完全易感的人群中，每個病例會傳染給 R₀ 個人；隨著免疫力逐漸形成，傳染人數會減少

p_{c} = 1 - \frac{1}{R _{0}}

群體免疫閾值：免疫人口所占的比例達到此水平時，每個病例感染的人數將少於一人

ln \frac{S _{\infty}}{S _{0}} = - R_{0} (S_{0} + I_{0} - S_{\infty})

最終規模關係：即使完全不採取任何措施，也不會所有人都受到感染

假設

每個人與其他人接觸的機會都相同。現實中的接觸模式取決於年齡、家庭、學校和工作。
康復者和接種疫苗者在疫情結束前都具有免疫力，而且疫苗完全有效。
沒有出生、其他原因造成的死亡、人口流動或新變異株；疫情開始時，0.1%的人具有傳染性。
此模型是確定性的：相同的設定總會產生相同的曲線。小城鎮的實際疫情中，偶然因素會產生很大的影響。
城鎮示意圖顯示目前各類人群所占的比例。為便於說明，圖中將最先感染的人畫成向外擴散；SIR模型本身不包含地理因素。

在課堂上試試這個實驗

Q1為什麼在仍有許多易感者時，疫情就開始下降了？
Q2麻疹的基本再生數（R₀）約為15。要阻止麻疹傳播，需要為多少比例的兒童接種疫苗？
Q3如果太晚才開始採取保持距離措施，疫情高峰幾乎不會改變。請利用模擬來解釋原因。
Q4即使讓感染曲線趨於平緩，感染者總數也未必會減少。為什麼這仍然能拯救生命？
Q5若要讓模型更貼近學校的實際情況，你會優先修改哪些假設？

常見問題

R₀和有效再生數有什麼不同？

R₀表示在所有人都易感時，一名病例平均會傳染給多少人。有效再生數也會考量特定時刻的免疫情況和防疫措施。有效再生數高於1時，疫情會擴大；低於1時，疫情則會縮小。

為什麼有效再生數等於1時會達到高峰？

當每個病例恰好由一個新病例取代時，感染者人數就不再上升。在SIR模型中，當易感族群所占比例降至1/R₀時，就會發生這種情況。

這個模型會用於研究真實疾病嗎？

是的，可以作為一個起點。公共衛生模型會增加更多分艙（例如，包含已感染但尚無傳染性的人的 SEIR 模型）、年齡組、接觸網絡和隨機效應；但 R₀、群體免疫和使曲線變平這些概念都源自這個簡單模型。