Epidemien und das SIR-Modell-Simulation

Über dieses Experiment

Das SIR-Modell unterteilt eine Bevölkerung in drei Gruppen: Menschen, die sich noch mit einer Krankheit anstecken können (Anfällige), Menschen, die sie haben und weitergeben können (Infektiöse) und Menschen, die genesen und immun sind. Drei einfache Raten reichen aus, um den Anstieg und Rückgang einer Epidemie nachzubilden. Ändern Sie die Basisreproduktionszahl R₀, impfen Sie einen Teil der Stadt vor dem Ausbruch oder fügen Sie eine Phase sozialer Distanzierung hinzu und vergleichen Sie die Kurve mit dem Verlauf ohne jegliche Maßnahmen.

Lernziele

Beschreiben Sie die drei Kompartimente des SIR-Modells und die Übergänge zwischen ihnen
Erklären Sie die Bedeutung der Basisreproduktionszahl R₀ und der effektiven Reproduktionszahl
Erklären Sie, warum eine Epidemie ihren Höhepunkt erreicht und abklingt, bevor alle infiziert wurden
Berechnen Sie die Herdenimmunitätsschwelle und überprüfen Sie sie anhand einer Impfung
Erkläre, was „die Kurve abflachen“ bedeutet und warum der Zeitpunkt der Maßnahmen wichtig ist

Anleitung

1Drücke auf „Play“ mit den Standardeinstellungen. An welchem Tag erreicht die Zahl der ansteckenden Personen ihren Höchststand? Wie hoch ist an diesem Tag die effektive Reproduktionszahl R?
2Setze zurück und stelle R₀ auf 1,2 und dann auf 4. Wie verändern sich die Höhe des Höchststands und die Gesamtzahl der jemals Infizierten?
3Stelle R₀ auf 2,5 und lies die Herdenimmunitätsschwelle ab. Lass etwas weniger und dann etwas mehr als diesen Anteil impfen. Was passiert mit dem Ausbruch?
4Entferne die Impfung und aktiviere ab Tag 20 für 60 Tage die Kontaktbeschränkungen. Vergleiche die durchgezogene Kurve mit der gestrichelten.
5Stelle „Weniger Kontakte“ auf 70 %, beginne an Tag 0 und behalte die Einstellung 60 Tage lang bei. Was passiert nach dem Ende der Kontaktbeschränkungen und warum?
6Finde eine Kombination von Maßnahmen, bei der der Höchststand unter der Linie für die Kapazität des Gesundheitssystems bleibt.

Das Modell

\frac{d S}{d t} = - β S I, \frac{d I}{d t} = β S I - γ I, \frac{d R}{d t} = γ I

S, I und R sind Anteile der Bevölkerung; β ist die Kontaktrate und 1/γ die Dauer der Ansteckungsfähigkeit

R_{0} = \frac{β}{γ}, R_{eff} = R_{0} S

Jeder Fall steckt in einer vollständig empfänglichen Bevölkerung R₀ weitere Personen an; mit zunehmender Immunität sind es weniger

p_{c} = 1 - \frac{1}{R _{0}}

Herdenimmunitätsschwelle: der Anteil Immuner, bei dem jeder Infizierte weniger als eine weitere Person ansteckt

ln \frac{S _{\infty}}{S _{0}} = - R_{0} (S_{0} + I_{0} - S_{\infty})

Endgrößenrelation: Nicht alle werden infiziert, selbst wenn keinerlei Maßnahmen ergriffen werden

Annahmen

Jeder hat mit allen anderen gleichermaßen Kontakt. In der Realität hängen Kontaktmuster von Alter, Haushalt, Schule und Arbeit ab.
Genesene und geimpfte Personen sind für den Rest des Ausbruchs immun, und die Impfung ist vollständig wirksam.
Es gibt keine Geburten, Todesfälle aus anderen Gründen, Reisen oder neuen Varianten, und zu Beginn des Ausbruchs sind 0,1 % der Menschen ansteckend.
Das Modell ist deterministisch: Bei denselben Einstellungen ergibt sich immer dieselbe Kurve. In realen Ausbrüchen in kleinen Städten spielt der Zufall eine große Rolle.
Die Stadtansicht zeigt die aktuellen Anteile. Zur Veranschaulichung wird dargestellt, wie sich die Infektion von der zuerst infizierten Person nach außen ausbreitet; das SIR-Modell selbst berücksichtigt keine Geografie.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Warum beginnt die Epidemie zurückzugehen, obwohl noch viele Menschen empfänglich sind?
Q2Masern haben eine Basisreproduktionszahl R₀ von etwa 15. Welcher Anteil der Kinder muss geimpft werden, um die Ausbreitung zu stoppen?
Q3Maßnahmen zur Kontaktreduzierung, die zu spät beginnen, verändern den Höhepunkt kaum. Nutze die Simulation, um zu erklären, warum.
Q4Eine Abflachung der Kurve verringert möglicherweise nicht die Gesamtzahl der Infizierten. Warum kann sie trotzdem Leben retten?
Q5Welche Annahmen des Modells würdest du zuerst ändern, damit es eine Schule realistischer abbildet?

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen R₀ und der effektiven Reproduktionszahl R?

R₀ ist die durchschnittliche Anzahl von Personen, die ein Fall ansteckt, wenn alle empfänglich sind. Die effektive Reproduktionszahl R berücksichtigt auch Immunität und Maßnahmen zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Epidemie wächst, solange die effektive Reproduktionszahl über 1 liegt, und schrumpft, wenn sie unter 1 fällt.

Warum wird der Höhepunkt erreicht, wenn die effektive Reproduktionszahl R gleich 1 ist?

Die Zahl der infektiösen Personen steigt genau dann nicht mehr, wenn jeder Fall durch einen neuen Fall ersetzt wird. Im SIR-Modell geschieht das, wenn der Anteil der empfänglichen Personen auf 1/R₀ sinkt.

Wird dieses Modell für echte Krankheiten verwendet?

Ja, als Ausgangspunkt. Modelle des öffentlichen Gesundheitswesens umfassen weitere Kompartimente (zum Beispiel Menschen, die infiziert, aber noch nicht ansteckend sind; dieses Modell heißt SEIR), Altersgruppen, Kontaktnetzwerke und Zufallseffekte. Die Konzepte R₀, Herdenimmunität und Abflachung der Kurve gehen jedoch alle auf dieses einfache Modell zurück.

Epidemien und das SIR-Modell

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