Simulation de Épidémies et modèle SIR

À propos de cette expérience

Le modèle SIR répartit une population en trois groupes : les personnes qui peuvent encore contracter une maladie (susceptibles), celles qui l’ont et peuvent la transmettre (infectieuses), et celles qui ont guéri et sont immunisées. Trois taux simples suffisent à reproduire la hausse et le déclin d’une épidémie. Modifiez le taux de reproduction de base R₀, vaccinez une partie de la ville avant l’épidémie ou ajoutez une période de distanciation sociale, puis comparez la courbe à ce qui se serait passé sans aucune mesure.

Objectifs pédagogiques

Décrivez les trois compartiments du modèle SIR et les flux entre eux
Expliquez la signification du taux de reproduction de base R₀ et du taux de reproduction effectif
Expliquez pourquoi une épidémie atteint un pic puis décline avant que tout le monde ait été infecté
Calculez le seuil d’immunité collective et vérifiez-le par la vaccination
Explique ce que signifie « aplatir la courbe » et pourquoi le moment où les mesures sont prises est important

Comment l’utiliser

1Appuyez sur « Play » avec les paramètres par défaut. Quel jour le nombre de personnes infectieuses atteint-il son maximum ? Quelle est la valeur de R effective ce jour-là ?
2Réinitialisez, puis réglez R₀ sur 1,2 et ensuite sur 4. Comment évoluent la hauteur du pic et le nombre total de personnes ayant été infectées ?
3Réglez R₀ sur 2,5 et consultez le seuil d’immunité collective. Faites vacciner un peu moins, puis un peu plus que cette proportion. Que se passe-t-il lors de l’épidémie ?
4Désactivez la vaccination et activez la distanciation sociale à partir du jour 20 pendant 60 jours. Comparez la courbe pleine à la courbe en pointillés.
5Réglez « Moins de contacts » sur 70 %, commencez au jour 0 et conservez ce réglage pendant 60 jours. Que se passe-t-il lorsque la distanciation prend fin, et pourquoi ?
6Trouvez un ensemble de mesures qui maintient le pic sous la ligne de capacité du système de santé.

Le modèle

\frac{d S}{d t} = - β S I, \frac{d I}{d t} = β S I - γ I, \frac{d R}{d t} = γ I

S, I et R sont des fractions de la population ; β est le taux de contact et 1/γ la durée de la période infectieuse

R_{0} = \frac{β}{γ}, R_{eff} = R_{0} S

Chaque cas infecte R₀ autres personnes dans une population entièrement susceptible ; ce nombre diminue à mesure que l’immunité se développe

p_{c} = 1 - \frac{1}{R _{0}}

Seuil d’immunité collective : la proportion de personnes immunisées à partir de laquelle chaque cas en infecte moins d’une autre personne

ln \frac{S _{\infty}}{S _{0}} = - R_{0} (S_{0} + I_{0} - S_{\infty})

Relation de taille finale : tout le monde n’est pas infecté, même sans aucune mesure

Hypothèses

Tout le monde est en contact de façon égale avec tout le monde. Dans la réalité, les modes de contact dépendent de l’âge, du foyer, de l’école et du travail.
Les personnes guéries et vaccinées sont immunisées pour le reste de l’épidémie, et le vaccin est pleinement efficace.
Il n’y a ni naissances, ni décès dus à d’autres causes, ni déplacements, ni nouveaux variants, et l’épidémie commence avec 0,1 % de la population contagieuse.
Le modèle est déterministe : les mêmes paramètres produisent toujours la même courbe. Dans les épidémies réelles des petites villes, le hasard joue un rôle important.
L’image de la ville montre les proportions actuelles. Pour illustrer la propagation, celle-ci est représentée comme s’étendant à partir de la première personne infectée ; le modèle SIR lui-même ne tient pas compte de la géographie.

À essayer en classe

Q1Pourquoi l’épidémie commence-t-elle à reculer alors qu’il reste encore beaucoup de personnes susceptibles d’être infectées ?
Q2La rougeole a un R₀ d’environ 15. Quelle proportion d’enfants doit être vaccinée pour en arrêter la propagation ?
Q3Les mesures de distanciation mises en place trop tard modifient à peine le pic. Utilisez la simulation pour expliquer pourquoi.
Q4Aplatir la courbe ne réduit pas forcément le nombre total de personnes infectées. Pourquoi cela peut-il malgré tout sauver des vies ?
Q5Quelles hypothèses du modèle modifieriez-vous en premier pour représenter une école de façon plus réaliste ?

Foire aux questions

Quelle est la différence entre R₀ et le R effectif ?

R₀ est le nombre moyen de personnes qu’un cas infecte lorsque tout le monde est susceptible. Le R effectif tient également compte de l’immunité et des mesures en vigueur à un moment donné. L’épidémie progresse tant que le R effectif est supérieur à 1 et recule lorsqu’il passe sous 1.

Pourquoi le pic est-il atteint lorsque le R effectif est égal à 1 ?

Le nombre de personnes contagieuses cesse d’augmenter exactement lorsque chaque cas est remplacé par un nouveau cas. Dans le modèle SIR, cela se produit lorsque la proportion de personnes susceptibles tombe à 1/R₀.

Ce modèle est-il utilisé pour des maladies réelles ?

Oui, comme point de départ. Les modèles de santé publique ajoutent davantage de compartiments (par exemple, les personnes infectées mais pas encore contagieuses, ce que l’on appelle SEIR), des groupes d’âge, des réseaux de contacts et des effets aléatoires. Cependant, les notions de R₀, d’immunité collective et d’aplatissement de la courbe proviennent toutes de ce modèle simple.

Épidémies et modèle SIR

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