유행병과 SIR 모형 시뮬레이션

이 실험 소개

SIR 모델은 인구를 세 집단으로 나눕니다. 아직 질병에 걸릴 수 있는 사람(감수성자), 질병에 걸려 다른 사람에게 전염시킬 수 있는 사람(감염자), 회복하여 면역을 얻은 사람(회복자)입니다. 세 가지 간단한 비율만으로도 유행의 확산과 감소를 재현할 수 있습니다. 기본 재생산지수 R₀를 바꾸거나, 유행이 시작되기 전에 마을 주민 일부에게 백신을 접종하거나, 일정 기간 사회적 거리 두기를 시행하고, 아무런 조치도 하지 않았을 때와 곡선을 비교해 보세요.

학습 목표

SIR 모델의 세 구획과 구획 간 이동을 설명하기
기본 재생산지수 R₀와 유효 재생산지수의 의미를 설명하기
모든 사람이 감염되기 전에 유행이 정점을 찍고 감소하는 이유를 설명하기
집단 면역 임계치를 계산하고 백신 접종으로 확인하기
“곡선을 평탄화한다”는 것이 무엇을 의미하는지, 그리고 조치를 취하는 시점이 중요한 이유를 설명하세요

사용 방법

1기본 설정으로 재생을 누르세요. 감염자 수는 며칠째에 정점에 도달하나요? 그날의 유효 R은 얼마인가요?
2초기화한 다음 R₀을 1.2로, 이어서 4로 설정하세요. 정점의 높이와 최종 감염자 수는 어떻게 달라지나요?
3R₀을 2.5로 설정하고 집단 면역 임계값을 확인하세요. 예방 접종률을 그보다 조금 낮게, 이어서 조금 높게 설정하세요. 유행은 어떻게 되나요?
4예방 접종을 해제하고 20일째부터 60일 동안 사회적 거리 두기를 켜세요. 실선 곡선과 점선 곡선을 비교하세요.
5‘접촉 줄이기’를 70 %로 설정하고 0일째부터 시작해 60일 동안 유지하세요. 거리 두기가 끝난 뒤에는 무슨 일이 일어나며, 그 이유는 무엇인가요?
6정점이 의료 서비스 수용 능력 선 아래에 머물도록 하는 조치 조합을 찾아보세요.

모델

\frac{d S}{d t} = - β S I, \frac{d I}{d t} = β S I - γ I, \frac{d R}{d t} = γ I

S, I, R은 인구에서 차지하는 비율입니다. β는 접촉률이고 1/γ는 감염 기간입니다

R_{0} = \frac{β}{γ}, R_{eff} = R_{0} S

완전히 감염에 취약한 집단에서는 감염자 한 명이 R₀명에게 감염시킵니다. 면역이 형성될수록 그 수는 줄어듭니다

p_{c} = 1 - \frac{1}{R _{0}}

집단 면역 임계값: 감염자 한 명이 다른 사람 한 명 미만을 감염시키게 되는 면역 인구의 비율

ln \frac{S _{\infty}}{S _{0}} = - R_{0} (S_{0} + I_{0} - S_{\infty})

최종 감염 규모 관계: 아무런 조치를 취하지 않아도 모든 사람이 감염되는 것은 아닙니다

가정

모든 사람은 서로 똑같이 접촉합니다. 실제 접촉 양상은 연령, 가구, 학교, 직장에 따라 달라집니다.
회복한 사람과 백신 접종자는 유행이 끝날 때까지 면역을 유지하며, 백신은 완전히 효과적입니다.
출생, 다른 원인으로 인한 사망, 이동, 새로운 변이는 없으며, 유행은 인구의 0.1%가 감염력을 가진 상태에서 시작됩니다.
이 모델은 결정론적입니다. 설정이 같으면 항상 같은 곡선이 나옵니다. 실제 작은 마을의 유행에는 우연의 요소가 크게 작용합니다.
마을 그림은 현재 각 집단의 비율을 보여 줍니다. 누가 처음 감염되는지는 설명을 위해 바깥쪽으로 퍼져 나가는 모습으로 그렸습니다. SIR 모델 자체에는 지리적 요소가 없습니다.

수업에서 해 보기

Q1아직 감염될 수 있는 사람이 많이 남아 있는데도 유행이 감소하기 시작하는 이유는 무엇인가요?
Q2홍역의 기본감염재생산수(R₀)는 약 15입니다. 홍역의 확산을 막으려면 어린이 중 몇 퍼센트가 백신을 접종해야 하나요?
Q3거리두기를 너무 늦게 시작하면 정점은 거의 달라지지 않습니다. 시뮬레이션을 활용해 그 이유를 설명해 보세요.
Q4감염 곡선을 완만하게 만들어도 감염된 사람의 총수가 줄어들지 않을 수 있습니다. 그런데도 왜 생명을 구할 수 있을까요?
Q5학교에 더 현실적으로 적용하려면 모델의 어떤 가정을 가장 먼저 바꾸겠습니까?

자주 묻는 질문

R₀와 유효 재생산지수의 차이는 무엇인가요?

R₀는 모든 사람이 감염될 수 있는 상태일 때 감염자 한 명이 평균적으로 몇 명을 감염시키는지를 나타냅니다. 유효 재생산지수는 특정 시점의 면역과 방역 조치도 고려합니다. 유효 재생산지수가 1보다 높으면 유행이 확산되고, 1보다 낮으면 감소합니다.

유효 재생산지수가 1이 되면 왜 정점에 도달하나요?

감염자 한 명이 새로운 감염자 한 명으로 대체되는 시점에 감염자 수는 정확히 더 이상 증가하지 않습니다. SIR 모델에서는 감수성 인구의 비율이 1/R₀로 낮아질 때 이런 일이 일어납니다.

이 모델은 실제 질병에 사용되나요?

네, 출발점으로는 그렇습니다. 공중보건 모델에는 더 많은 구획(예: 감염되었지만 아직 전염성이 없는 사람을 포함하는 SEIR 모델), 연령대, 접촉 네트워크, 확률적 효과가 추가됩니다. 하지만 R₀, 집단 면역, 곡선 평탄화라는 개념은 모두 이 단순한 모델에서 비롯됩니다.