아레니우스 플롯 시뮬레이션

이 실험 소개

대부분의 반응은 가열하면 급격히 빨라지며, 온도가 10도 오를 때마다 반응 속도가 두 배가 되는 경우도 많습니다. 1889년 스반테 아레니우스는 그 이유를 설명했습니다. 활성화 에너지라고 하는 최소 에너지 이상을 가진 분자만 반응할 수 있으며, 그 에너지를 가진 분자의 비율은 온도에 따라 지수적으로 증가합니다. 여러 온도에서 속도 상수를 측정하고 ln k를 1/T에 대해 그래프로 나타내면 직선이 나오며, 물리화학 실험에서처럼 그 기울기에서 활성화 에너지를 구할 수 있습니다.

학습 목표

아레니우스 방정식을 사용해 임의의 온도에서 속도 상수를 계산합니다
방정식을 선형화하고 ln k를 1/T에 대해 나타낸 그래프의 기울기와 절편으로 Ea와 A를 구합니다
온도가 10 K 오를 때마다 반응 속도가 두 배가 된다는 경험 법칙과 이 법칙이 성립하지 않는 경우를 설명합니다
촉매가 아레니우스 그래프의 기울기를 어떻게 바꾸는지 보여 줍니다
온도 범위와 측정 오차가 Ea의 정확도를 어떻게 제한하는지 평가합니다

사용 방법

1왼쪽 그래프에서 드래그하세요. 290 K에서 350 K 사이에 k는 어떻게 변하나요? 증가가 선형인가요?
2오른쪽 그래프를 보세요. 측정값이 직선 위에 놓이는 이유는 무엇인가요? 피팅으로 구한 Ea를 실제 값과 비교하세요.
3+10 K 판독값을 사용하여 298 K에서 308 K 사이에 반응 속도가 정확히 두 배가 되는 활성화 에너지를 구하세요.
4촉매를 켜세요. 어느 그래프가 더 크게 변하나요? 선의 기울기는 완만해지면서 절편은 그대로인 이유가 무엇인가요?
5측정 오차를 15 %, 온도 범위를 10 K로 설정하세요. 실험을 여러 번 수행하고 피팅으로 구한 Ea의 산포를 기록하세요. 그런 다음 온도 범위를 100 K로 넓히세요.
6여러 번의 실험에서 두 점 추정값과 최소제곱 피팅을 비교하세요. 어느 쪽이 더 신뢰할 수 있나요?

모델

k = A e^{- E_{a} / R T}

아레니우스 방정식

ln k = ln A - \frac{E _{a}}{R} \cdot \frac{1}{T}

선형 형태: 기울기 −Ea/R, 절편 ln A

E_{a} = \frac{R ln ( k _{2} / k _{1} )}{1/ T _{1} - 1/ T _{2}}

두 온도에서의 속도 상수로 구하는 두 점 형태

t_{1/2} = \frac{ln 2}{k}

1차 반응의 반감기

가정

표시된 온도 범위에서 A와 Ea는 온도에 의존하지 않습니다. 충돌 이론과 전이 상태 이론은 A가 온도에 약하게 의존한다고 예측하지만, 여기서는 이를 무시합니다.
이 반응은 1차 반응이므로 k의 단위는 s⁻¹이며, 반감기는 농도에 의존하지 않습니다.
촉매는 Ea를 일정하게 30 kJ/mol 낮추며 A는 변하지 않게 합니다. 실제 촉매는 다른 반응 메커니즘을 제공하며, 이로 인해 A도 달라질 수 있습니다.
측정된 각 k에는 시드가 설정된 난수 생성기로 지정된 크기의 무작위 상대 오차가 포함되므로, 실행을 정확히 재현할 수 있습니다. 피팅에는 ln k에 대한 일반 최소제곱법을 사용합니다.

수업에서 해 보기

Q1Ea = 50 kJ/mol인 반응이 있습니다. 온도를 20 °C에서 30 °C로 올리면 k는 몇 배 증가할까요?
Q2300 K에서 k = 3.0 × 10⁻⁴ s⁻¹이고, 330 K에서 k = 2.4 × 10⁻³ s⁻¹입니다. Ea를 계산하세요.
Q3아레니우스 플롯의 기울기가 −1.2 × 10⁴ K입니다. 활성화 에너지는 얼마인가요?
Q4생물학자들은 효소 활성이 10 °C 오를 때마다 대략 두 배가 된다고 말하면서도, 그 현상이 약 40 °C까지만 나타난다고 하는 이유는 무엇인가요?
Q5측정 횟수가 같더라도 Ea를 구할 때 온도 범위가 넓을수록 더 나은 이유는 무엇인가요?

자주 묻는 질문

왜 k를 T에 대해 그리지 않고 ln k를 1/T에 대해 그리나요?

아레니우스 방정식은 해당 변수들을 사용하면 직선이 되기 때문입니다. 직선은 맞춰 보기 쉽고 눈으로 확인하기도 쉬우며, 기울기에서 Ea를 바로 구할 수 있습니다. k를 T에 대해 그리면 곡선이 지수 형태가 되어 활성화 에너지를 읽어 내기 어렵습니다.

빈도 인자 A는 무엇을 의미하나요?

모든 충돌에 충분한 에너지가 있다고 가정했을 때의 반응 속도 상수입니다. 분자들이 얼마나 자주 만나는지와 올바른 방향으로 얼마나 자주 만나는지를 모두 반영합니다. 단위는 k와 같습니다.

모든 반응이 아레니우스 방정식을 따르나요?

대부분의 단순한 반응은 적당한 온도 범위에서 이 방정식을 따릅니다. 효소 반응은 단백질이 변성되면 더 이상 따르지 않고, 터널링이 일어나는 일부 반응이나 복잡한 메커니즘을 가진 반응은 그래프에서 곡선을 그립니다. 또한 일부 라디칼 재결합 반응처럼 가열하면 오히려 느려지는 반응도 있습니다.