Oscillatori accoppiati e modi normali

Informazioni su questo esperimento

Appendete due pendoli identici uno accanto all’altro e collegateli con una molla debole. Spostate solo il pendolo di sinistra e lasciatelo andare: oscilla, ma gradualmente il suo movimento si attenua mentre il pendolo di destra inizia a oscillare, finché quest’ultimo ha tutta l’energia e il pendolo di sinistra è quasi fermo. Poi l’energia torna indietro. Il segreto è che il sistema ha due modi semplici di muoversi, chiamati modi normali, e ogni movimento è una combinazione di entrambi. Provate ciascun modo separatamente, poi modificate la molla e osservate se lo scambio di energia accelera o rallenta.

Obiettivi di apprendimento

Descrivi come l’energia viene trasferita avanti e indietro tra due oscillatori accoppiati
Individua i due modi normali: oscillare in fase e oscillare in direzioni opposte
Spiega perché ogni modo normale ha una propria frequenza costante
Collega il tempo necessario perché l’energia passi da un oscillatore all’altro alla differenza tra le frequenze dei due modi (battimenti)
Collega gli oscillatori accoppiati a esempi come molecole, ponti e smorzatori a massa accordata

Come si usa

1Inizia con «Solo quello di sinistra» e osserva per un minuto intero. Quanto tempo ci vuole perché il pendolo destro abbia tutta l’energia?
2Imposta il grafico su «Energia». Che cosa succede alla somma delle due energie?
3Scegli «Entrambi nello stesso modo». L’energia passa ora da un pendolo all’altro? La molla si allunga mai?
4Scegli «In direzioni opposte». Confronta la frequenza con quella del modo in fase. Perché è più alta?
5Torna a «Solo quello di sinistra» e rendi la molla più rigida. Come cambia il tempo necessario perché l’energia si trasferisca?
6Trascina i pesi per creare le tue posizioni iniziali, per esempio spostandone uno molto e l’altro di poco. Riesci a prevedere che cosa succederà?

Il modello

ω_{1} = \frac{g}{L}

Modo in fase: la molla non si allunga mai, quindi ciascun pendolo oscilla come se fosse solo

ω_{2} = \frac{g}{L} + \frac{2 k}{m}

Modo in opposizione di fase: la molla richiama entrambi i pesi, quindi la frequenza è più alta

x_{1, 2} = \frac{A}{2} (cos ω_{1} t \pm cos ω_{2} t)

All’inizio, solo il peso sinistro è spostato di A: una combinazione in parti uguali dei due modi

x_{1} = A cos (\frac{ω _{2} - ω _{1}}{2} t) cos (\frac{ω _{1} + ω _{2}}{2} t)

Lo stesso moto espresso come un’oscillazione rapida la cui ampiezza cambia lentamente: battimenti

t_{transfer} = \frac{π}{ω _{2} - ω _{1}}

Tempo necessario perché l’energia si trasferisca completamente da un pendolo all’altro

Ipotesi

Oscillazioni di piccola ampiezza, così che ogni pendolo si comporta come un oscillatore armonico semplice e si usa lo spostamento laterale al posto dell’angolo.
I due pendoli sono identici e hanno una massa di 0,5 kg ciascuno. La molla è leggera e agisce lungo la linea orizzontale tra le masse.
Quando è attivato, lo smorzamento rallenta entrambi i modi dello stesso fattore. Senza smorzamento, il moto prosegue per sempre.
Il moto viene calcolato esattamente a partire dai due modi normali, non passo dopo passo, quindi non deriva mai.

Provalo in classe

Q1Perché il modo in fase ha la stessa frequenza di un pendolo singolo, indipendentemente dalla molla?
Q2Con una molla molto debole, l’energia impiega molto tempo a passare da un pendolo all’altro. Spiegalo usando le due frequenze.
Q3Perché l’energia torna completamente al primo pendolo solo quando i due pendoli sono identici?
Q4Un edificio alto ha una massa pesante fissata a una molla vicino alla sommità, chiamata smorzatore a massa accordata. In che modo potrebbe ridurre l’oscillazione durante una tempesta?
Q5Una molecola di anidride carbonica può vibrare facendo muovere entrambi gli atomi di ossigeno nella stessa direzione oppure in direzioni opposte. In che modo questo è simile ai due pendoli?

Domande frequenti

Che cos’è un modo normale?

Un modo normale è uno schema di movimento in cui ogni parte si muove alla stessa frequenza e mantiene per sempre lo stesso schema. Due pendoli accoppiati hanno due modi normali. Qualsiasi altro movimento è una combinazione dei due, ed è per questo che sembra più complicato.

Perché l’energia si sposta da un pendolo all’altro?

I due modi hanno frequenze leggermente diverse, quindi lentamente sfasano e poi tornano in fase. Quando i loro movimenti si sommano nel punto di massa del pendolo di sinistra e si annullano in quello di destra, oscilla il pendolo di sinistra; mezzo periodo di battimento dopo accade il contrario. È lo stesso effetto dei battimenti tra due note di altezza quasi uguale.

Si perde energia nella molla?

No, la molla immagazzina energia solo per un istante e poi la restituisce. Senza smorzamento, l’energia totale resta costante; nel tempo cambia soltanto il modo in cui si distribuisce tra i due pendoli e la molla.