Gekoppelte Oszillatoren und Normalmoden

Über dieses Experiment

Hänge zwei identische Pendel nebeneinander auf und verbinde sie mit einer schwachen Feder. Ziehe nur das linke Pendel zur Seite und lass es los: Es schwingt, doch seine Bewegung klingt langsam ab, während das rechte Pendel zu schwingen beginnt, bis schließlich das rechte die gesamte Energie besitzt und das linke fast stillsteht. Dann fließt die Energie zurück. Das Geheimnis ist, dass es für das System zwei einfache Bewegungsformen gibt, sogenannte Normalmoden, und jede Bewegung eine Mischung aus beiden ist. Probiere jede Mode einzeln aus, verändere dann die Feder und beobachte, wie sich der Energieaustausch beschleunigt oder verlangsamt.

Lernziele

Beschreibe, wie Energie zwischen zwei gekoppelten Oszillatoren hin und her übertragen wird
Identifiziere die beiden Normalmoden: gleichphasiges und gegenläufiges Schwingen
Erkläre, warum jede Normalmode ihre eigene konstante Frequenz hat
Setze die Zeit, die die Energie für die Übertragung benötigt, mit der Differenz der Frequenzen der beiden Moden in Beziehung (Schwebungen)
Verbinde gekoppelte Pendel mit Beispielen wie Molekülen, Brücken und Schwingungstilgern

Anleitung

1Beginne mit „Nur das linke“ und beobachte eine volle Minute lang. Wie lange dauert es, bis das rechte Pendel die gesamte Energie hat?
2Stelle das Diagramm auf „Energie“ um. Was passiert mit der Summe der beiden Energien?
3Wähle auf dieselbe Weise „Beide gleich“. Wird die Energie jetzt zwischen den Pendeln übertragen? Wird die Feder jemals gedehnt?
4Wähle „Entgegengesetzt“. Vergleiche die Frequenz mit der gleichphasigen Schwingungsform. Warum ist sie höher?
5Kehre zu „Nur das linke“ zurück und mache die Feder steifer. Wie verändert sich die Zeit, die die Energie für die Übertragung benötigt?
6Ziehe die Pendelkörper, um eigene Ausgangspositionen einzustellen, zum Beispiel einen weit und den anderen nur ein wenig ausgelenkt. Kannst du vorhersagen, was passieren wird?

Das Modell

ω_{1} = \frac{g}{L}

Gleichphasige Schwingungsform: Die Feder wird nie gedehnt, daher schwingt jedes Pendel, als wäre es allein

ω_{2} = \frac{g}{L} + \frac{2 k}{m}

Gegenphasige Schwingungsform: Die Feder zieht beide Pendelkörper zurück, daher ist die Frequenz höher

x_{1, 2} = \frac{A}{2} (cos ω_{1} t \pm cos ω_{2} t)

Ausgangslage: Nur der linke Pendelkörper wird um A ausgelenkt, eine Mischung aus beiden Schwingungsformen zu gleichen Teilen

x_{1} = A cos (\frac{ω _{2} - ω _{1}}{2} t) cos (\frac{ω _{1} + ω _{2}}{2} t)

Dieselbe Bewegung, dargestellt als schnelle Schwingung mit langsam veränderlicher Amplitude: Schwebungen

t_{transfer} = \frac{π}{ω _{2} - ω _{1}}

Zeit, die die Energie benötigt, um vollständig von einem Pendel zum anderen überzugehen

Annahmen

Kleine Schwingungen, sodass sich jedes Pendel wie ein harmonischer Oszillator verhält und die seitliche Auslenkung anstelle des Winkels verwendet wird.
Die beiden Pendel sind identisch und haben jeweils eine Masse von 0,5 kg. Die Feder ist leicht und wirkt entlang der horizontalen Linie zwischen den Pendelkörpern.
Eine eingeschaltete Dämpfung verlangsamt beide Schwingungsmoden um denselben Faktor. Ohne Dämpfung dauert die Bewegung ewig an.
Die Bewegung wird exakt aus den beiden Normalmoden berechnet, nicht Schritt für Schritt, sodass sie niemals abdriftet.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Warum hat die gleichphasige Mode unabhängig von der Feder dieselbe Frequenz wie ein einzelnes Pendel?
Q2Bei einer sehr schwachen Feder dauert es lange, bis die Energie hinüberfließt. Erkläre dies anhand der beiden Frequenzen.
Q3Warum kehrt die Energie nur dann vollständig zum ersten Pendel zurück, wenn beide Pendel identisch sind?
Q4Ein hohes Gebäude hat nahe seiner Spitze eine schwere Masse an einer Feder, einen sogenannten Schwingungstilger. Wie könnte er das Schwanken bei einem Sturm verringern?
Q5Ein Kohlendioxidmolekül kann schwingen, wobei sich beide Sauerstoffatome entweder in dieselbe Richtung oder in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Inwiefern ähnelt das den beiden Pendeln?

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Eigenschwingungsform?

Eine Eigenschwingungsform ist ein Bewegungsmuster, bei dem sich jeder Teil mit derselben Frequenz bewegt und das Muster für immer beibehält. Zwei gekoppelte Pendel haben zwei Eigenschwingungsformen. Jede andere Bewegung ist eine Kombination aus diesen beiden, weshalb sie komplizierter aussieht.

Warum bewegt sich die Energie zwischen den Pendeln hin und her?

Die beiden Schwingungsformen haben leicht unterschiedliche Frequenzen und geraten deshalb langsam abwechselnd in und außer Takt. Wenn sich ihre Bewegungen am linken Pendelkörper addieren und am rechten aufheben, schwingt das linke Pendel; eine halbe Schwebungsperiode später ist es umgekehrt. Das ist derselbe Effekt wie die Schwebungen zwischen zwei Tönen mit nahezu gleicher Tonhöhe.

Geht in der Feder Energie verloren?

Nein, die Feder speichert nur kurz Energie und gibt sie wieder ab. Ohne Dämpfung bleibt die Gesamtenergie konstant; sie verteilt sich im Laufe der Zeit lediglich anders auf die beiden Pendel und die Feder.