Oscillateurs couplés et modes normaux

À propos de cette expérience

Suspends deux pendules identiques côte à côte et relie-les avec un ressort souple. Écarte seulement celui de gauche et lâche-le : il oscille, mais son mouvement s’atténue peu à peu tandis que le pendule de droite se met à osciller, jusqu’à ce que celui de droite possède toute l’énergie et que celui de gauche soit presque immobile. Puis l’énergie repart dans l’autre sens. Le secret, c’est que le système possède deux façons simples de se mouvoir, appelées modes normaux, et que tout mouvement est une combinaison des deux. Essaie chaque mode séparément, puis modifie le ressort et observe si l’échange d’énergie s’accélère ou ralentit.

Objectifs pédagogiques

Décris comment l’énergie est transférée dans un sens puis dans l’autre entre deux oscillateurs couplés
Identifie les deux modes normaux : oscillation en phase et oscillation en sens opposés
Explique pourquoi chaque mode normal possède sa propre fréquence constante
Relie le temps nécessaire au transfert de l’énergie à la différence entre les fréquences des deux modes (battements)
Reliez les oscillateurs couplés à des exemples tels que les molécules, les ponts et les amortisseurs à masse accordée

Comment l’utiliser

1Commencez par « Seulement celui de gauche » et observez pendant une minute entière. Combien de temps faut-il pour que le pendule de droite récupère toute l’énergie ?
2Réglez le graphique sur « Énergie ». Que devient la somme des deux énergies ?
3Choisissez « Les deux, dans le même sens » de la même manière. L’énergie passe-t-elle maintenant d’un pendule à l’autre ? Le ressort s’étire-t-il à un moment donné ?
4Choisissez « En sens opposés ». Comparez la fréquence à celle du mode en phase. Pourquoi est-elle plus élevée ?
5Revenez à « Seulement celui de gauche » et rigidifiez le ressort. Comment le temps nécessaire au transfert de l’énergie évolue-t-il ?
6Faites glisser les masses pour créer vos propres positions de départ, par exemple en écartant fortement l’une et un peu l’autre. Pouvez-vous prévoir ce qui va se passer ?

Le modèle

ω_{1} = \frac{g}{L}

Mode en phase : le ressort ne s’étire jamais, donc chaque pendule oscille comme s’il était seul

ω_{2} = \frac{g}{L} + \frac{2 k}{m}

Mode en opposition de phase : le ressort tire les deux masses vers leur position de repos, donc la fréquence est plus élevée

x_{1, 2} = \frac{A}{2} (cos ω_{1} t \pm cos ω_{2} t)

Au départ, seule la masse de gauche est écartée de A : un mélange à parts égales des deux modes

x_{1} = A cos (\frac{ω _{2} - ω _{1}}{2} t) cos (\frac{ω _{1} + ω _{2}}{2} t)

Le même mouvement décrit comme une oscillation rapide dont l’amplitude varie lentement : battements

t_{transfer} = \frac{π}{ω _{2} - ω _{1}}

Temps nécessaire pour que l’énergie passe entièrement d’un pendule à l’autre

Hypothèses

Petites oscillations, de sorte que chaque pendule se comporte comme un oscillateur harmonique simple et que le déplacement latéral est utilisé à la place de l’angle.
Les deux pendules sont identiques et ont chacun une masse de 0,5 kg. Le ressort est léger et agit le long de la ligne horizontale entre les masses.
Lorsqu’il est activé, l’amortissement ralentit les deux modes dans la même proportion. Sans amortissement, le mouvement se poursuit indéfiniment.
Le mouvement est calculé exactement à partir des deux modes normaux, et non pas à pas, de sorte qu’il ne dérive jamais.

À essayer en classe

Q1Pourquoi le mode en phase a-t-il la même fréquence qu’un pendule seul, quel que soit le ressort ?
Q2Avec un ressort très faible, l’énergie met longtemps à passer d’un pendule à l’autre. Expliquez cela à l’aide des deux fréquences.
Q3Pourquoi l’énergie ne revient-elle entièrement au premier pendule que lorsque les deux pendules sont identiques ?
Q4Un grand bâtiment est équipé, près de son sommet, d’une masse lourde fixée à un ressort, appelée amortisseur à masse accordée. Comment pourrait-elle réduire les oscillations du bâtiment pendant une tempête ?
Q5Une molécule de dioxyde de carbone peut vibrer de telle sorte que ses deux atomes d’oxygène se déplacent soit dans le même sens, soit en sens opposés. En quoi cela ressemble-t-il aux deux pendules ?

Foire aux questions

Qu’est-ce qu’un mode normal ?

Un mode normal est un mouvement dans lequel chaque partie se déplace à la même fréquence et conserve toujours la même configuration. Deux pendules couplés ont deux modes normaux. Tout autre mouvement est une combinaison des deux, ce qui explique pourquoi il semble plus complexe.

Pourquoi l’énergie passe-t-elle d’un pendule à l’autre ?

Les deux modes ont des fréquences légèrement différentes et se décalent donc lentement l’un par rapport à l’autre, puis se remettent en phase. Lorsque leurs mouvements s’additionnent au niveau de la masse du pendule de gauche et s’annulent au niveau de celle de droite, le pendule gauche oscille ; une demi-période de battement plus tard, c’est l’inverse. C’est le même effet que les battements entre deux notes de hauteur presque identique.

De l’énergie est-elle perdue dans le ressort ?

Non, le ressort ne stocke de l’énergie qu’un instant avant de la restituer. Sans amortissement, l’énergie totale reste constante ; elle se répartit simplement différemment entre les deux pendules et le ressort au fil du temps.