Osciladores acoplados y modos normales

Acerca de este experimento

Cuelga dos péndulos idénticos uno al lado del otro y únelos con un resorte débil. Aparta solo el péndulo izquierdo y suéltalo: oscila, pero poco a poco su movimiento se atenúa mientras el péndulo derecho empieza a oscilar, hasta que el derecho tiene toda la energía y el izquierdo casi se detiene. Luego, la energía vuelve a fluir. El secreto es que el sistema tiene dos formas sencillas de moverse, llamadas modos normales, y cualquier movimiento es una combinación de ambos. Prueba cada modo por separado; después, cambia el resorte y observa cómo el intercambio de energía se acelera o se ralentiza.

Objetivos de aprendizaje

Describe cómo se transfiere la energía de un lado a otro entre dos osciladores acoplados
Identifica los dos modos normales: oscilar en fase y oscilar en direcciones opuestas
Explica por qué cada modo normal tiene su propia frecuencia constante
Relaciona el tiempo que tarda la energía en pasar de un oscilador al otro con la diferencia entre las frecuencias de los dos modos (batidos)
Relaciona los osciladores acoplados con ejemplos como las moléculas, los puentes y los amortiguadores de masa sintonizada

Cómo usarlo

1Empieza con «Solo el izquierdo» y observa durante un minuto entero. ¿Cuánto tarda el péndulo derecho en tener toda la energía?
2Cambia el gráfico a «Energía». ¿Qué ocurre con la suma de las dos energías?
3Elige «Ambos igual» del mismo modo. ¿Se transfiere ahora la energía entre los péndulos? ¿Llega a estirarse el muelle?
4Elige «En sentidos opuestos». Compara la frecuencia con la del modo en fase. ¿Por qué es más alta?
5Vuelve a «Solo el izquierdo» y aumenta la rigidez del muelle. ¿Cómo cambia el tiempo que tarda la energía en transferirse?
6Arrastra las masas para crear tus propias posiciones iniciales; por ejemplo, desplaza una mucho y la otra un poco. ¿Puedes predecir qué ocurrirá?

El modelo

ω_{1} = \frac{g}{L}

Modo en fase: el muelle nunca se estira, así que cada péndulo oscila como si estuviera solo

ω_{2} = \frac{g}{L} + \frac{2 k}{m}

Modo en oposición de fase: el muelle tira de ambas masas para devolverlas, por lo que la frecuencia es más alta

x_{1, 2} = \frac{A}{2} (cos ω_{1} t \pm cos ω_{2} t)

Al inicio, solo se desplaza A la masa izquierda: una mezcla de ambos modos en partes iguales

x_{1} = A cos (\frac{ω _{2} - ω _{1}}{2} t) cos (\frac{ω _{1} + ω _{2}}{2} t)

El mismo movimiento expresado como una oscilación rápida cuya amplitud cambia lentamente: pulsaciones

t_{transfer} = \frac{π}{ω _{2} - ω _{1}}

Tiempo que tarda la energía en transferirse por completo de un péndulo al otro

Supuestos

Oscilaciones pequeñas, de modo que cada péndulo se comporta como un oscilador armónico simple y se utiliza el desplazamiento lateral en lugar del ángulo.
Los dos péndulos son idénticos y tienen una masa de 0,5 kg cada uno. El muelle es ligero y actúa a lo largo de la línea horizontal entre las masas.
Cuando se activa, la amortiguación ralentiza ambos modos en el mismo factor. Sin amortiguación, el movimiento continúa eternamente.
El movimiento se calcula exactamente a partir de los dos modos normales, no paso a paso, por lo que nunca se desvía.

Pruébalo en clase

Q1¿Por qué tiene el modo en fase la misma frecuencia que un péndulo aislado, independientemente del muelle?
Q2Con un muelle muy débil, la energía tarda mucho en pasar de un péndulo al otro. Explícalo usando las dos frecuencias.
Q3¿Por qué la energía solo vuelve por completo al primer péndulo cuando ambos péndulos son idénticos?
Q4Un edificio alto tiene una masa pesada unida a un muelle cerca de la parte superior, llamada amortiguador de masa sintonizada. ¿Cómo podría reducir el balanceo durante una tormenta?
Q5Una molécula de dióxido de carbono puede vibrar de modo que ambos átomos de oxígeno se muevan en la misma dirección o en direcciones opuestas. ¿En qué se parece esto a los dos péndulos?

Preguntas frecuentes

¿Qué es un modo normal?

Un modo normal es un patrón de movimiento en el que cada parte se mueve con la misma frecuencia y conserva siempre el mismo patrón. Dos péndulos acoplados tienen dos modos normales. Cualquier otro movimiento es una combinación de ambos, por eso parece más complicado.

¿Por qué se transfiere la energía entre los péndulos?

Los dos modos tienen frecuencias ligeramente distintas, así que poco a poco dejan de estar sincronizados y vuelven a estarlo. Cuando sus movimientos se suman en la masa del péndulo de la izquierda y se cancelan en la de la derecha, oscila el péndulo izquierdo; medio ciclo de batido después ocurre lo contrario. Es el mismo efecto que los batidos entre dos notas de tonos casi iguales.

¿Se pierde energía en el muelle?

No, el muelle solo almacena energía por un instante y luego la devuelve. Sin amortiguación, la energía total permanece constante; simplemente se distribuye de forma distinta entre los dos péndulos y el muelle con el paso del tiempo.