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Zellgröße und Oberfläche

OberschuleBiologieDiffusion von jeder Seite eines Würfels (exakte Reihenlösung); Zufuhr durch eine Zelloberfläche ∝ Fläche, Bedarf ∝ Volumen

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Über dieses Experiment

Warum sind Zellen so klein, und warum besteht ein Elefant nicht einfach aus einer einzigen riesigen Zelle? Alles, was eine Zelle braucht, etwa Sauerstoff und Glukose, muss durch ihre Oberfläche hineingelangen, doch der Bedarf hängt von ihrem Volumen ab. Wenn eine Zelle wächst, nimmt ihr Volumen schneller zu als ihre Oberfläche. Lege Agarwürfel unterschiedlicher Größe in Säure und beobachte, wie die rosa Farbe von außen nach innen verschwindet. Verändere dann Größe und Form einer Zelle, um herauszufinden, wann ihre Oberfläche nicht mehr mithalten kann.

Lernziele

  • Berechne die Oberfläche, das Volumen und das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen eines Würfels
  • Erkläre, warum das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen abnimmt, wenn ein Objekt größer wird
  • Erkläre, warum Diffusion allein nur kleine Zellen und Organismen versorgen kann
  • Beschreibe, wie abgeflachte und lange, dünne Formen das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen vergrößern
  • Verknüpfe diese Ideen mit Anpassungen wie Zotten, Alveolen, Wurzelhaaren und roten Blutkörperchen

Anleitung

  1. 1Starte die Agarwürfel. Welcher Würfel verliert seine rosa Farbe vollständig zuerst? Lies die Zeiten ab.
  2. 2Vergleiche die Tabellen. Der Würfel mit einer Kantenlänge von 3 cm hat das 27-Fache des Volumens des 1-cm-Würfels. Wie viel Mal so groß ist seine Oberfläche?
  3. 3Halte nach 8 Minuten an und lies ab, welcher Anteil jedes Würfels von der Säure erreicht wurde. Erkläre das Muster mithilfe des Verhältnisses von Oberfläche zu Volumen.
  4. 4Der 2-cm-Würfel ist doppelt so breit wie der 1-cm-Würfel. Wie viel länger dauert es, bis er vollständig entfärbt ist?
  5. 5Wechsle zu „Zellformen“. Vergrößere die Kugel, bis sie nicht mehr ausreicht. Wie groß kann sie werden?
  6. 6Behalte dasselbe Volumen bei und probiere die flache Scheibe und den langen Stab aus. Welche Formen ermöglichen es einer großen Zelle noch, ausreichend versorgt zu werden?

Das Modell

Würfel mit der Seitenlänge L: Das Verhältnis halbiert sich, wenn sich die Seitenlänge verdoppelt
Dasselbe Verhältnis für eine Kugel mit dem Radius r
Die Zeit, die die Diffusion benötigt, um das Zentrum zu erreichen, wächst mit dem Quadrat der Größe.
Diffusion in einen Würfel: Der noch nicht erreichte Anteil ist das Produkt aus drei eindimensionalen Lösungen.

Annahmen

  • Die Säure diffundiert mit einem effektiven Diffusionskoeffizienten von 1,0 × 10⁻⁸ m²/s in den Agar; dieser wurde so gewählt, dass sich ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1 cm wie bei einem typischen Klassenexperiment in etwa 8 Minuten entfärbt.
  • Der Indikator ändert dort seine Farbe, wo die Säure die Hälfte ihrer Konzentration außerhalb des Würfels erreicht. Die Säure außerhalb des Würfels bleibt gleich konzentriert.
  • Im Zellmodell gelangt Sauerstoff durch jeden Quadratmikrometer Membran mit derselben Rate hinein, und jeder Kubikmikrometer verbraucht ihn mit derselben Rate.
  • Die flache Scheibe ist ein Fünftel so dick wie breit; der Stab ist zehnmal so lang wie breit.

Im Unterricht ausprobieren

  1. Q1Bestimme das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen für Würfel mit den Kantenlängen 1 cm, 2 cm und 4 cm. Beschreibe das Muster.
  2. Q2Ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1 cm entfärbt sich in 8 Minuten. Schätze, wie lange ein Würfel mit einer Kantenlänge von 4 cm benötigen würde, und erkläre deine Überlegung.
  3. Q3Warum brauchen große Tiere Lungen, Kiemen und ein Kreislaufsystem, während eine einzellige Amöbe das nicht braucht?
  4. Q4Rote Blutkörperchen sind abgeflachte Scheiben. Wie hilft ihnen diese Form bei ihrer Aufgabe?
  5. Q5Warum haben Elefanten so große, dünne Ohren?

Häufig gestellte Fragen

Wie führe ich das echte Experiment durch?

Bereite Agar mit etwas Natriumhydroxid und Phenolphthalein zu, sodass er sich rosa färbt und fest wird. Schneide Würfel mit einer Kantenlänge von 1, 2 und 3 cm aus, gib sie in verdünnte Salzsäure und miss, wie lange es dauert, bis sich jeder entfärbt. Trage eine Schutzbrille.

Warum dauert es viermal so lange, wenn sich die Größe verdoppelt?

Diffusion breitet sich wie ein zufälliger Spaziergang aus. Um die doppelte Strecke zurückzulegen, braucht ein Molekül etwa viermal so lange, denn die zurückgelegte Entfernung wächst mit der Quadratwurzel der Zeit.

Haben alle Zellen dieselbe Größenbegrenzung?

Nein. Die Begrenzung hängt davon ab, wie schnell die Zelle Stoffe verbraucht und wie schnell diese die Membran passieren können. Manche Zellen, etwa Nervenzellen und Eizellen, sind riesig, weil sie lang und dünn sind oder weil sie Nahrung speichern und nur wenig Sauerstoff verbrauchen.