Informazioni su questo esperimento
La maggior parte delle equazioni non può essere risolta con una formula, eppure una calcolatrice trova √2 o la radice di cos x = x in un istante. Uno dei motivi è il metodo di Newton: partendo da una stima, si segue la retta tangente fino all’asse x e si usa il punto d’intersezione come stima successiva. Vicino a una radice semplice, il numero di cifre corrette raddoppia all’incirca a ogni passo. Osserva come funziona e poi come fallisce: radici doppie, tangenti orizzontali, cicli, divergenza e i bacini di attrazione frattali che traccia nel piano complesso.
Obiettivi di apprendimento
- Deriva l’iterazione di Newton dall’equazione della retta tangente
- Riconosci la convergenza quadratica in una tabella degli errori
- Spiega perché la convergenza diventa lineare in corrispondenza di una radice multipla
- Fai esempi in cui il metodo di Newton fallisce: tangenti orizzontali, cicli e divergenza
- Descrivi i bacini di attrazione e spiega perché i loro confini nel piano complesso sono frattali
Come si usa
- 1Con x² − 2 e x₀ = 3, applica il metodo passo dopo passo e osserva la colonna delle cifre. Approssimativamente, come cresce il numero di cifre corrette?
- 2Dimostra che, per f(x) = x² − a, l’iterazione diventa x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2, il metodo babilonese.
- 3Scegli (x − 1)²(x + 2) e parti da 2.5. Confronta gli errori da un passaggio al successivo con il caso di una radice semplice. Qual è il rapporto?
- 4Scegli x³ − 2x + 2 e parti esattamente da 0. Che cosa succede? Ora parti da 0.1 o −0.5.
- 5Scegli arctan x. Trova, con due cifre decimali, il valore iniziale più grande per cui il metodo converge ancora.
- 6Passa al piano complesso con z³ − 1. Immagina di ingrandire il confine tra due colori: perché lì ci sono sempre punti del terzo colore?
Il modello
Ipotesi
- I calcoli usano la doppia precisione, circa 16 cifre significative, quindi l’errore smette di diminuire intorno a 10^−16.
- L’errore è la distanza dalla radice esatta più vicina, nota per ciascuna funzione mostrata.
- Il metodo si arresta quando la tangente è orizzontale, quando |x| supera 10^6 o dopo 40 passaggi.
- Nel piano complesso, un punto iniziale viene colorato in base alla radice che raggiunge entro 50 passaggi; più passaggi richiede, più scuro è il colore. I punti che non arrivano mai a una radice sono disegnati quasi neri.
Provalo in classe
- Q1Esegui due passaggi del metodo di Newton a partire da x₀ = 2 per stimare la radice cubica di 10.
- Q2Perché f′(x) deve essere diverso da zero vicino alla radice affinché il metodo di Newton funzioni bene?
- Q3Trova l’iterazione di Newton per f(x) = 1/x − a. Perché è utile per i computer che non possono eseguire divisioni?
- Q4Per f(x) = x^(1/3), dimostra che x_{n+1} = −2x_n. Che cosa significa questo per qualsiasi valore iniziale?
- Q5Confronta il metodo di Newton con quello di bisezione: quale richiede meno passaggi per raggiungere 10 cifre corrette e quale garantisce di funzionare?
Domande frequenti
Perché si chiama metodo di Newton-Raphson?
Nel 1669 Isaac Newton descrisse una versione per i polinomi che riscriveva il polinomio a ogni passaggio. Joseph Raphson pubblicò la forma iterativa più semplice nel 1690, e Thomas Simpson fornì la versione generale del calcolo infinitesimale nel 1740.
Come fanno i metodi pratici di risoluzione a evitare gli errori mostrati qui?
Combinano il metodo di Newton con un metodo sicuro, come la bisezione (come nel metodo di Brent), riducono il passo quando questo farebbe aumentare il valore della funzione (metodo di Newton smorzato o ricerca lineare), oppure partono da una buona stima ottenuta in altro modo.
Dove si usa il metodo di Newton?
Nel calcolo di radici quadrate e reciproci in hardware, nella risoluzione di equazioni non lineari in ingegneria e fisica, nell’integrazione temporale implicita di equazioni differenziali e nell’ottimizzazione, dove il metodo di Newton viene applicato al gradiente per trovare i minimi.