Simulación de Método de Newton

Acerca de este experimento

La mayoría de las ecuaciones no se pueden resolver con una fórmula y, sin embargo, una calculadora encuentra √2 o la raíz de cos x = x en un instante. El método de Newton es una de las razones: a partir de una estimación, se sigue la recta tangente hasta el eje x y se usa ese punto de intersección como la siguiente estimación. Cerca de una raíz simple, el número de cifras correctas se duplica aproximadamente en cada paso. Observa cómo funciona y luego cómo falla: raíces dobles, tangentes horizontales, ciclos, divergencia y las cuencas de atracción fractales que dibuja en el plano complejo.

Objetivos de aprendizaje

Deriva la iteración de Newton a partir de la ecuación de la recta tangente
Reconoce la convergencia cuadrática en una tabla de errores
Explica por qué la convergencia se vuelve lineal en una raíz múltiple
Da ejemplos en los que falla el método de Newton: tangentes horizontales, ciclos y divergencia
Describe las cuencas de atracción y explica por qué sus fronteras en el plano complejo son fractales

Cómo usarlo

1Con x² − 2 y x₀ = 3, aplica el método paso a paso y observa la columna de cifras. ¿Aproximadamente cómo aumenta el número de cifras correctas?
2Demuestra que, para f(x) = x² − a, la iteración se convierte en x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2, el método babilónico.
3Elige (x − 1)²(x + 2) y empieza en 2.5. Compara los errores de un paso al siguiente con el caso de una raíz simple. ¿Cuál es la razón?
4Elige x³ − 2x + 2 y empieza exactamente en 0. ¿Qué ocurre? Ahora empieza en 0.1 o −0.5.
5Elige arctan x. Encuentra, con dos decimales, el mayor valor inicial para el que el método aún converge.
6Pasa al plano complejo con z³ − 1. Imagina que haces zoom en una frontera entre dos colores: ¿por qué siempre hay allí puntos del tercer color?

El modelo

y = f (x_{n}) + f^{'} (x_{n}) (x - x_{n}) = 0 \Rightarrow x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}

La siguiente aproximación es el punto donde la tangente corta el eje x

e_{n + 1} \approx \frac{f ^{''} ( r )}{2 f ^{'} ( r )} e_{n}^{2}

Convergencia cuadrática cerca de una raíz simple r

e_{n + 1} \approx \frac{m - 1}{m} e_{n}

Convergencia lineal cerca de una raíz de multiplicidad m

p \approx \frac{ln ( e _{n + 1} / e _{n} )}{ln ( e _{n} / e _{n - 1} )}

Orden de convergencia estimado a partir de tres errores

Supuestos

Los cálculos usan doble precisión, unas 16 cifras significativas, por lo que el error deja de disminuir cerca de 10^−16.
El error es la distancia a la raíz exacta más cercana, que se conoce para cada función mostrada.
El método se detiene cuando la tangente es horizontal, cuando |x| supera 10^6 o después de 40 pasos.
En el plano complejo, cada punto inicial se colorea según la raíz a la que llega en un máximo de 50 pasos; cuanto más pasos necesita, más oscuro es el color. Los puntos que nunca llegan se dibujan casi negros.

Pruébalo en clase

Q1Aplica dos pasos de Newton desde x₀ = 2 para estimar la raíz cúbica de 10.
Q2¿Por qué f′(x) debe ser distinto de cero cerca de la raíz para que el método de Newton funcione bien?
Q3Encuentra la iteración de Newton para f(x) = 1/x − a. ¿Por qué es útil para los ordenadores que no pueden dividir?
Q4Para f(x) = x^(1/3), demuestra que x_{n+1} = −2x_n. ¿Qué significa esto para cualquier punto inicial?
Q5Compara el método de Newton con el de bisección: ¿cuál necesita menos pasos para alcanzar 10 cifras correctas y cuál garantiza que funcionará?

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama método de Newton-Raphson?

Isaac Newton describió en 1669 una versión para polinomios que reescribía el polinomio en cada paso. Joseph Raphson publicó la forma iterativa más sencilla en 1690, y Thomas Simpson presentó la versión general del cálculo infinitesimal en 1740.

¿Cómo evitan los métodos prácticos de resolución los fallos que se muestran aquí?

Combinan el método de Newton con un método seguro, como la bisección (como en el método de Brent), acortan el paso cuando este haría aumentar el valor de la función (Newton amortiguado o búsqueda lineal), o parten de una buena estimación obtenida por otros medios.

¿Dónde se utiliza el método de Newton?

En el cálculo de raíces cuadradas e inversos en hardware, la resolución de ecuaciones no lineales en ingeniería y física, la integración temporal implícita de ecuaciones diferenciales y la optimización, donde se aplica el método de Newton al gradiente para encontrar mínimos.