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Méthode de Newton

UniversitéMathématiquesx_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) : remplace la courbe par sa tangente et résous l’équation de la droite

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À propos de cette expérience

La plupart des équations ne peuvent pas être résolues à l’aide d’une formule, et pourtant une calculatrice trouve √2 ou la racine de cos x = x en un instant. La méthode de Newton en est une des raisons : à partir d’une estimation, on suit la tangente jusqu’à l’axe des x et l’on utilise ce point d’intersection comme estimation suivante. Au voisinage d’une racine simple, le nombre de chiffres exacts double approximativement à chaque étape. Observez son fonctionnement, puis ses échecs : racines doubles, tangentes horizontales, cycles, divergence et bassins d’attraction fractals qu’elle dessine dans le plan complexe.

Objectifs pédagogiques

  • Déduisez l’itération de Newton à partir de l’équation de la tangente
  • Reconnaissez la convergence quadratique dans un tableau d’erreurs
  • Expliquez pourquoi la convergence devient linéaire en présence d’une racine multiple
  • Donnez des exemples de situations où la méthode de Newton échoue : tangentes horizontales, cycles et divergence
  • Décrivez les bassins d’attraction et expliquez pourquoi leurs frontières dans le plan complexe sont fractales

Comment l’utiliser

  1. 1Avec x² − 2 et x₀ = 3, appliquez la méthode étape par étape et observez la colonne des chiffres. Comment le nombre de chiffres corrects augmente-t-il, approximativement ?
  2. 2Montrez que, pour f(x) = x² − a, l’itération devient x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2, la méthode babylonienne.
  3. 3Choisissez (x − 1)²(x + 2) et partez de 2.5. Comparez les erreurs d’une étape à la suivante avec le cas d’une racine simple. Quel est le rapport ?
  4. 4Choisissez x³ − 2x + 2 et partez exactement de 0. Que se passe-t-il ? Partez ensuite de 0.1 ou de −0.5.
  5. 5Choisissez arctan x. Trouvez, à deux décimales près, la plus grande valeur initiale pour laquelle la méthode converge encore.
  6. 6Passez au plan complexe avec z³ − 1. Imaginez que vous zoomez sur une frontière entre deux couleurs : pourquoi y a-t-il toujours des points de la troisième couleur à cet endroit ?

Le modèle

La prochaine approximation est le point où la tangente coupe l’axe des x
Convergence quadratique au voisinage d’une racine simple r
Convergence linéaire au voisinage d’une racine de multiplicité m
Ordre de convergence estimé à partir de trois erreurs

Hypothèses

  • Les calculs utilisent la double précision, soit environ 16 chiffres significatifs ; l’erreur cesse donc de diminuer aux alentours de 10^−16.
  • L’erreur est la distance à la racine exacte la plus proche, connue pour chacune des fonctions représentées.
  • La méthode s’arrête lorsque la tangente est horizontale, lorsque |x| dépasse 10^6 ou après 40 étapes.
  • Dans le plan complexe, un point de départ est coloré selon la racine qu’il atteint en 50 étapes au maximum ; plus il lui faut d’étapes, plus la couleur est sombre. Les points qui n’atteignent jamais de racine sont représentés presque en noir.

À essayer en classe

  1. Q1Effectuez deux étapes de Newton à partir de x₀ = 2 pour estimer la racine cubique de 10.
  2. Q2Pourquoi faut-il que f′(x) soit non nul près de la racine pour que la méthode de Newton fonctionne bien ?
  3. Q3Trouvez l’itération de Newton pour f(x) = 1/x − a. Pourquoi est-elle utile pour les ordinateurs qui ne savent pas effectuer de division ?
  4. Q4Pour f(x) = x^(1/3), montrez que x_{n+1} = −2x_n. Qu’est-ce que cela signifie pour tout point de départ ?
  5. Q5Comparez la méthode de Newton et la dichotomie : laquelle nécessite le moins d’étapes pour obtenir 10 chiffres exacts, et laquelle garantit de fonctionner ?

Foire aux questions

Pourquoi l’appelle-t-on la méthode de Newton-Raphson ?

Isaac Newton a décrit en 1669 une version pour les polynômes qui réécrivait le polynôme à chaque étape. Joseph Raphson a publié la forme itérative plus simple en 1690, et Thomas Simpson a donné la version générale du calcul infinitésimal en 1740.

Comment les méthodes pratiques de résolution évitent-elles les échecs présentés ici ?

Ils combinent la méthode de Newton avec une méthode sûre, comme la dichotomie (comme dans la méthode de Brent), raccourcissent le pas s’il risque d’augmenter la valeur de la fonction (méthode de Newton amortie ou recherche linéaire), ou partent d’une bonne estimation obtenue autrement.

Où utilise-t-on la méthode de Newton ?

Pour calculer des racines carrées et des inverses en matériel informatique, résoudre des équations non linéaires en ingénierie et en physique, intégrer des équations différentielles par des schémas en temps implicites, et optimiser, en appliquant la méthode de Newton au gradient pour trouver des minima.