Simulation de Pendule simple

À propos de cette expérience

Écartez la masse du pendule, relâchez-la et mesurez la durée d’une oscillation. La simulation résout pas à pas l’équation complète du pendule et reste donc précise même à de grands angles, là où la formule classique des manuels commence à s’écarter de la réalité. Le graphique de l’angle en fonction du temps montre le mouvement exact à côté de la prévision des petits angles.

Objectifs pédagogiques

Montrez que la période dépend de la longueur du fil et de la gravité, mais pas de la masse du pendule
Vérifiez la relation T = 2π√(L/g) et utilisez-la pour mesurer g
Découvrez à partir de quand l’approximation des petits angles cesse d’être précise
Voyez comment l’amortissement de l’air réduit l’amplitude tandis que la période reste presque inchangée

Comment l’utiliser

1Choisissez une longueur de fil et un angle de lâcher, puis appuyez sur Lecture.
2Relevez la période mesurée après une oscillation complète et comparez-la aux deux valeurs prédites.
3Faites glisser la masse du pendule jusqu’à un nouvel angle de départ, puis relâchez-la pour lancer une nouvelle expérience.
4Augmentez l’angle de lâcher à 60° ou plus et observez la courbe exacte prendre du retard sur la courbe en pointillés correspondant aux petits angles.

Le modèle

θ ¨ = - \frac{g}{L} sin θ - b θ ˙

Équation du mouvement avec amortissement linéaire b

T_{0} = 2 π \frac{L}{g}

Période aux petits angles

T \approx T_{0} (1 + \frac{θ _{0}^{2}}{16} + \frac{11 θ _{0}^{4}}{3072})

Correction pour les grandes amplitudes, θ₀ en radians

Hypothèses

Le fil ne s’étire pas et n’a pas de masse. Le pendule est un point matériel.
L’amortissement est modélisé par une force proportionnelle à la vitesse angulaire.
L’équation est intégrée à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta d’ordre quatre, avec des pas de 1 ms.

À essayer en classe

Q1Rendez le fil quatre fois plus long. Que devient la période ?
Q2À partir de quel angle de lâcher la période exacte diffère-t-elle de la valeur aux petits angles de plus de 1 % ?
Q3Emmenez le pendule sur la Lune. Prévoyez sa nouvelle période avant d’appuyer sur « Lecture ».
Q4À quel endroit de l’oscillation le pendule va-t-il le plus vite, et à quel endroit s’arrête-t-il momentanément ?

Foire aux questions

Pourquoi n’y a-t-il pas de curseur pour régler la masse ?

Pour un pendule idéal, la masse se simplifie dans l’équation du mouvement ; la période n’en dépend donc pas.

Pourquoi la période mesurée ne correspond-elle pas exactement à T = 2π√(L/g) ?

Cette formule suppose que sin θ ≈ θ, ce qui n’est vrai que pour les petits angles. Pour des angles plus grands, la période réelle est plus longue.

Comment les élèves peuvent-ils mesurer g avec cette expérience ?

Mesurez la période pour plusieurs longueurs de fil, tracez T² en fonction de L et déterminez la pente. La pente est égale à 4π²/g.