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Binärzahlen

MittelschuleInformatikStellenwertsystem zur Basis 2: Jedes Bit ist doppelt so viel wert wie das Bit rechts davon

8 + 2 + 1 = 11

11

Über dieses Experiment

In einem Computer wird jede Zahl, jeder Buchstabe, jedes Bild und jeder Ton als Muster aus Schaltern gespeichert, die entweder aus- oder eingeschaltet sind: 0 oder 1. Jeder Schalter ist ein Bit. So wie jede Stelle in unseren Dezimalzahlen zehnmal so viel wert ist wie die Stelle rechts daneben, ist jedes Bit doppelt so viel wert wie das Bit rechts daneben: 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter. Schalte Bits ein und aus, zähle hoch und beobachte, wie der Übertrag weiterwandert, wandle Zahlen in Dezimal- und Hexadezimalzahlen um und finde heraus, wie Computer negative Zahlen speichern.

Lernziele

  • Erkläre, dass das Binärsystem ein Zahlensystem zur Basis 2 ist, das nur die Ziffern 0 und 1 verwendet.
  • Wandle Binärzahlen mit bis zu 8 Bits in Dezimalzahlen um und umgekehrt.
  • Zähle im Binärsystem und erkläre, wie der Übertrag funktioniert.
  • Finde heraus, was die größte Zahl ist, die mit einer vorgegebenen Anzahl von Bits gespeichert werden kann.
  • Wandle Binärzahlen in Hexadezimalzahlen um und beschreibe Überläufe und das Zweierkomplement

Anleitung

  1. 1Schalte bei 4 Bits jeweils ein Bit ein. Notiere den Wert jedes Bits. Welches Muster fällt dir auf?
  2. 2Stelle die Zahlen 5, 9 und 15 mit 4 Bits dar. Welche Bits hast du verwendet?
  3. 3Drücke ausgehend von 0 immer wieder auf +1. Welches Bit ändert sich jedes Mal? Welches Bit ändert sich am seltensten?
  4. 4Zähle mit 4 Bits bis 15 und drücke noch einmal auf +1. Was passiert, und warum?
  5. 5Wechsle zu 8 Bits. Welche größte Zahl kannst du darstellen? Vergleiche sie mit 2⁸ - 1.
  6. 6Schalte negative Zahlen ein. Welchen Wert hat jetzt das linke Bit? Stelle -1 und -128 dar.
  7. 7Wähle „Zahl darstellen“ und löse fünf Aufgaben. Beginne am besten mit dem größten Bit.

Das Modell

Binär zu Dezimal: Addiere die Stellenwerte der Bits, die eingeschaltet sind.
Mit n Bits kannst du 2ⁿ verschiedene Werte speichern, von 0 bis 2ⁿ - 1.
Jede Gruppe aus 4 Bits entspricht einer Hexadezimalziffer.
Zweierkomplement: Zum Negieren kehrst du jedes Bit um und addierst 1.

Annahmen

  • Bits werden mit dem höchstwertigen Bit links geschrieben, wie bei gewöhnlichen Zahlen.
  • Vorzeichenlose Zahlen reichen von 0 bis 2ⁿ - 1. Wenn negative Zahlen aktiviert sind, wird das Zweierkomplement verwendet und das linke Bit hat den Wert -2ⁿ⁻¹.
  • Wenn du zum größten Wert 1 addierst, springt die Zahl zum kleinsten Wert zurück, wie bei echter Computerarithmetik mit fester Bitbreite. Das nennt man Überlauf.
  • Die Zahlen für die Herausforderungen stammen aus einer festgelegten Folge, sodass jede Klasse dieselben Aufgaben in derselben Reihenfolge erhält.

Im Unterricht ausprobieren

  1. Q1Wandle 10110 vom Binär- ins Dezimalsystem um.
  2. Q2Wandle 45 mit 8 Bits vom Dezimal- ins Binärsystem um.
  3. Q3Wie viele Bits werden benötigt, um Zahlen bis 1000 zu speichern?
  4. Q4Warum steht eine Binärzahl, die mit 1 endet, immer für eine ungerade Zahl?
  5. Q5Was ist 1111 1110 im 8-Bit-Zweierkomplement? Erkläre, woran du das erkennst.

Häufig gestellte Fragen

Warum verwenden Computer das Binärsystem statt des Dezimalsystems?

Ein elektronischer Schalter lässt sich zuverlässig bauen, wenn er nur zwei Zustände haben muss: aus und ein. Zehn verschiedene Spannungspegel für Dezimalziffern zu unterscheiden, wäre viel schwieriger und fehleranfälliger.

Was ist ein Byte?

Ein Byte besteht aus 8 Bits. Es kann 256 verschiedene Werte von 0 bis 255 oder ein Zeichen aus einem einfachen englischen Text speichern.

Warum ist das Hexadezimalsystem nützlich?

Lange Binärzahlen sind schwer zu lesen. Da 16 = 2⁴ ist, entspricht jede Gruppe aus vier Bits genau einer Hexadezimalziffer. Deshalb verwenden Programmierer das Hexadezimalsystem als Kurzschreibweise für Binärzahlen, zum Beispiel in Farbcodes wie #FF8800.