高中适用的数学模拟：二项分布

关于此实验

高尔顿板将概率变成了可视化的图形。每个球穿过一排排钉子下落，每碰到一根钉子，就会随机向左或向右弹跳。球最终落入的箱子记录了它向右走过的次数。单个球的运动无法预测，但数百个球会形成稳定的形状：二项分布。可以一次放一个球，也可以一次放一千个球；还可以改变行数和向右弹跳的概率，并将堆积的形状与公式和正态曲线进行比较。

学习目标

描述一个二项试验：以相同的成功概率进行固定次数的独立试验
解释为什么通往第 k 个箱子的路径有 C(n, k) 条，并利用这一点求出每个箱子的概率
计算二项分布的均值 np 和标准差 √(np(1-p))
观察随着球的数量增加，样本直方图如何逐渐接近预期分布
判断二项分布何时接近正态分布

使用方法

1放下1个球并追踪它的路径。数一数它向右弹跳了几次，并查看它落入的箱号。
2先放下10个球，再放下100个。开启“显示预期计数”。各箱的计数与蓝色标记有多接近？
3一次添加1000个球。将样本均值和标准差与 np 和 √(np(1-p)) 进行比较。
4按“新样本”，使用相同设置重复操作。哪些结果发生了变化？变化了多少？
5将 p 设为 0.2。峰值移到了哪里？形状仍然对称吗？
6将 n 设为 14、p 设为 0.5，并开启正态近似。然后试试 n = 3。什么时候正态曲线拟合得比较好？

模型

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

经过 n 行后落入第 k 个箱的概率

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

恰好向右弹跳 k 次的不同路径数（帕斯卡三角形中的一个数）

μ = n p, σ = n p (1 - p)

二项分布的均值和标准差

X \approx N (n p, n p (1 - p))

正态近似：当 np 和 n(1-p) 都至少约为 5 时，近似效果较好

假设

每经过一个钉子，球向右走的概率都是 p，且与它经过上方钉子时的移动方向无关。
每个球在每一行恰好经过一个钉子，不能跳过任何一行，也不能连续两次向侧面弹跳。
随机选择由带种子的随机数生成器产生。样本数、n 和 p 相同时，球的结果始终相同，因此可以重复实验并进行讨论。
动画仅用于说明：每个球落入哪个槽由它向左或向右移动的选择序列决定，而不是通过碰撞的物理模拟决定。

在课堂上试试这个实验

Q1有4行且 p = 0.5 时，为什么球落入槽2的可能性是落入槽0的6倍？
Q2尽管中间的槽是球最有可能落入的槽，为什么在有14行的板上，它却只接住约五分之一的球？
Q3抛一枚硬币10次。恰好出现5次正面的概率是多少？用板来检查你的答案。
Q4一份选择题测验有12道题，每题有4个选项。一名学生每题都靠猜。要用板来模拟这种情况，应如何设置？预期得分是多少？
Q5为什么每次按下“新样本”时，样本直方图看起来都不一样，而蓝色的期望计数却保持不变？

常见问题

为什么各区间会呈现钟形？

通向两端箱子的路径各只有一条，而通向中间箱子的路径却有很多条，因为球向左或向右弹跳的顺序有许多种。路径越多的箱子收集到的球就越多，路径数量遵循帕斯卡三角形各行中的数字。

分布总是对称的吗？

只有在 p = 0.5 时才是如此。如果 p 较小，球往往会停留在左侧，分布就会向右偏斜；n 越大，分布就会再次变得越对称。

样本和分布有什么区别？

分布给出了从长期来看预计落入每个区间的球所占比例。样本则是在球的数量有限时实际发生的结果，因此会围绕期望值波动。投下的球越多，这种波动就会按比例减小。